Criterios de
Divisibilidad
NÚMEROS Y OPERACIONES
5º EDUCACIÓN PRIMARIA
Los criterios de divisibilidad son aquellas reglas matemáticas que nos permiten descubrir con facilidad y sin la necesidad de resolver una división, si un número es o no divisible entre otro.
Nos ayudan a reducir y simplificar las fracciones, hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números, descomponer cualquier número en factores primos, identificar si un número es primo o compuesto...
Vamos a explicarte cada una de las reglas básicas para hallar los múltiplos y divisores de cualquier número natural utilizando los criterios de divisibilidad del 2 al 15
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 2
Un número natural es divisible por 2 si termina en cero o en número par, es decir, 0, 2, 4, 6 u 8.
Ejemplo: 1 3 4 termina en cuatro (número par) y, por tanto, es divisible por 2.
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 3
Un número natural es divisible por 3 si el resultado de la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3, es decir: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...
Ejemplo: 3 1 5 = 3 + 1 + 5 = 9 y, por tanto, será divisible por 3.
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 4
Un número natural es divisible por 4 si cumple alguna de las dos condiciones:
a) Sus dos últimas cifras son 00
Ejemplo: El número natural 700 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (decenas y unidades) terminan en 0.
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b) Sus dos últimas cifras son un múltiplo de 4, por ejemplo, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120...
Ejemplo: El número 7 . 5 3 6 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son 36, las cuales son un múltiplo de 4 porque 36 / 4 = 9, dando como resultado una división exacta.
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 5
Un número natural es divisible por 5 si el valor de su última cifra (unidades) es cero o cinco.
Ejemplo: 2 2 0 termina en cero y, por tanto, es divisible por 5.
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 6
Un número natural es divisible por 6 cuando se cumplen simultáneamente los criterios de divisibilidad tanto del 2 como del 3:
- Un número natural es divisible por 2 si termina en cero o en número par, es decir, 0, 2, 4, 6 u 8.
Ejemplo: 5 8 2 termina en dos (número par) y, por tanto, es divisible por 2.
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- Un número natural es divisible por 3 si el resultado de la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3, es decir: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...
Ejemplo: 5 8 2 = 5 + 8 + 2 = 15 y, por tanto, será divisible por 3.
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Por tanto, podemos afirmar que el número 582 es divisible por 6 al cumplirse de forma simultánea tanto los criterios de divisibilidad del 2 como del 3
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 7
Un número natural es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o un múltiplo de 7, es decir, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147...
Ejemplo: 5 4 6 = 5 4 - ( 2 x 6 ) = 5 4 - 1 2 = 42, el cual es múltiplo de 7 porque 42 : 7 = 6 (división exacta)
Ejemplo: 3 . 6 8 2 = 3 6 8 - ( 2 x 2 ) = 3 6 8 - 4 = 364, el cual es múltiplo de 7 porque 364 : 7 = 52 (división exacta)
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 8
Un número natural es divisible por 8 si cumple alguna de las dos condiciones:
a) Sus tres últimas cifras son 000
Ejemplo: El número natural 1 4 . 0 0 0 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras (centenas, decenas y unidades) terminan en 0.
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b) Sus tres últimas cifras son un múltiplo de 8, por ejemplo, 008, 016, 024, 032, 040, 048, 056, 064, 072, 080, 088, 096, 104, 112, 120, 128, 136...
Ejemplo: El número 6 . 1 1 2 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son 112, las cuales son un múltiplo de 8 porque 112 / 8 = 14, dando como resultado una división exacta.
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 9
Un número natural es divisible por 9 si el resultado de la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 9, es decir: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81...
Ejemplo: 3 . 5 4 6 = 3 + 5 + 4 + 6 = 1 8 y, por tanto, será divisible por 9 porque 18 / 9 = 2 (división exacta).
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 10
Un número natural es divisible por 10 si su último dígito (la cifra de las unidades) es cero.
Ejemplo: 5 7 0 termina en cero y, por tanto, es divisible por 10.
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 11
Un número natural es divisible por 11 cuando el resultado de la suma de las cifras de posición impar, menos la suma de las cifras de posición par, es cero o un múltiplo de 11, es decir, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187...
Ejemplo: 5 9 . 6 9 7 = ( 5 + 6 + 7 ) - ( 9 + 9 ) = 0
Ejemplo: 5 6 . 7 1 6 = ( 5 + 7 + 6 ) - ( 6 + 1 ) = 18 - 7 = 11, el cual es un múltiplo de 11
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Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 12
Un número natural es divisible por 12 cuando se cumplen paralelamente los criterios de divisibilidad tanto del 3 como del 4:
- Un número natural es divisible por 3 si el resultado de la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3, es decir: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...
Ejemplo: 4 6 8 = 4 + 6 + 8 = 18 y, por tanto, será divisible por 3.
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- Un número natural es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son 00 (por ejemplo, 1.800) o un número de dos cifras múltiplo del 4: 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...
Ejemplo: 4 6 8, sus dos últimas cifras son 68, el cual es un mútiplo de 4 porque 68 / 4 = 17 y, por tanto, el número 468 es divisible por 4.
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Por tanto, podemos afirmar que el número 468 es divisible por 12 al cumplirse de forma simultánea tanto los criterios de divisibilidad del 3 como del 4
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 13
Un número natural es divisible por 13 cuando, al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 9 y restarla a las restantes cifras (decenas, centenas, unidades de millar...), el resultado es igual a 0 o un múltiplo de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, 143, 156, 169, 182, 195...
Ejemplo: 5 4 6 = 5 4 - ( 6 x 9 ) = 5 4 - 5 4 = 0, por tanto, 546 será divisible por 13
Ejemplo: 1 . 7 1 6 = 1 7 1 - ( 6 x 9 ) = 1 7 1 - 5 4 = 117, el cual es múltiplo de 13 porque 117 / 13 = 9 (división exacta) y, por tanto, 1.716 será divisible por 13
Conocer y aplicar el criterio de divisibilidad del 15
Un número natural es divisible por 15 cuando se cumplen sincronizadamente los criterios de divisibilidad tanto del 3 como del 5:
- Un número natural es divisible por 3 si el resultado de la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3, es decir: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...
Ejemplo: 3 1 5 = 3 + 1 + 5 = 9 y, por tanto, será divisible por 3.
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- Un número natural es divisible por 5 si el valor de su última cifra (unidades) es cero o cinco.
Ejemplo: 3 1 5 termina en cinco y, por tanto, es divisible por 5.
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Por tanto, podemos afirmar que el número 315 es divisible por 15 al cumplirse de forma simultánea tanto los criterios de divisibilidad del 3 como del 5
Hallar los números primos y compuestos de cualquier número natural
Un número es primo cuando solamente tiene dos divisores... él mismo y la unidad.
Ejemplo: El número 7 es un número primo porque solamente puede dividirse por 1 (la unidad) y por 7 (por sí mismo)
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JUEGOS
Por su parte, un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores:
Ejemplo: El número 10 es un número compuesto porque puede dividirse por 1 (la unidad), 2, 5 y 10 (por sí mismo)
¡Y recuerda! El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solamente tiene un divisor, él mismo.
ERATÓSTENES
El matemático griego Eratóstenes de Cirene (276 - 194 a.C.) elaboró una tabla con los números primos y compuestos del 1 al 100 a la que denominó la "criba de Eratóstenes".
¿Serías capaz de replicarla? ¡Te proponemos unas actividades para que lo consigas!
Calcular los múltiplos de un número natural
Los múltiplos de cualquier número natural se obtienen multiplicando dicho número por 0, 1, 2, 3, 4... es decir, siguiendo su tabla de multiplicar de manera ordenada y con tendencia hacia el infinito.
¡No lo olvides! El número 0 es múltiplo de todos los números.
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JUEGOS
Te facilitamos la explicación para que puedas aprender qué son los múltiplos y cómo hallarlos a partir de cualquier número natural:
Calcular los divisores de un número natural
Un número es divisor de otro si, al realizar la división entre sí, la división es exacta siendo el residuo cero.
¡Y recuerda! El número 1 es divisor de todos los números.
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JUEGOS
Te facilitamos la explicación para que puedas aprender qué son los divisores y cómo hallarlos a partir de cualquier número natural.
Si deseamos saber cuáles son los divisores de cualquier número natural tendríamos que dividir todos los números desde el 1 hasta el número al que deseamos llegar (en este caso, 8) y consideraríamos divisores aquellos en que la división fuese exacta:
Como habrás podido comprobar, hallar los divisores de un número puede ser una tarea costosa si utilizamos números más grandes y, es por ello, que te vamos a enseñar el método más utilizado para calcular los divisores de cualquier número natural de forma rápida y sencilla:
DESCOMPOSICIÓN POR FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS
Hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos números naturales dados
Te presentamos una serie de actividades imprimibles, un tutorial y un juego educativo para que comprendas qué es el Mínimo Común Múltiplo (MCM) y, además, aprendas fácilmente a calcularlo entre dos números naturales.
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JUEGOS
Seguidamente, te mostramos los dos procedimientos existentes para la obtención del Mínimo Común Múltiplo de dos números naturales: el "sistema de múltiplos" y la "descomposición en factores primos":
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS POR EL SISTEMA DE MÚLTIPLOS
Hallaremos los múltiplos de los dos números naturales siguiendo sus tablas de multiplicar ordenadamente. El Mínimo Común Múltiplo será el menor de los múltiplos comunes:
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Partiendo de dos o más números naturales y mediante su descomposición expresada como el producto de factores primos (es decir, 2, 3, 5, 7, 11, 13...), el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) se hallará al multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente:
Hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de tres números naturales dados
Te presentamos unas actividades en formato PDF junto con su explicación para que comprendas paso a paso cómo hallar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de tres números naturales.
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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE TRES NÚMEROS POR EL SISTEMA DE MÚLTIPLOS
Hallaremos los múltiplos de los tres números naturales siguiendo sus tablas de multiplicar ordenadamente. El Mínimo Común Múltiplo será el menor de los múltiplos comunes:
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE TRES NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Partiendo de dos o más números naturales y mediante su descomposición expresada como el producto de factores primos (es decir, 2, 3, 5, 7, 11, 13...), el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) se hallará al multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente:
Hallar el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números naturales dados
Observa el vídeo explicativo y aprenderás a hallar el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números naturales. Después, practica con la actividad online y con nuestras fichas descargables.
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Partiendo de dos o más números naturales y mediante su descomposición expresada como el producto de factores primos (es decir, 2, 3, 5, 7, 11, 13...), el Máximo Común Divisor (m.c.d.) se hallará al multiplicar todos los factores comunes elevados a su menor exponente:
EUCLIDES
El matemático y geómetra griego Euclides (325 - 265 a.C.), también conocido como el "padre de la geometría", desarrolló un algoritmo para hallar el máximo común divisor de dos números naturales:
- Si al dividir el número mayor entre el número menor la división es exacta, el m.c.d. será el valor del divisor.
- Si al dividir el número mayor entre el número menor la división es inexacta, el m.c.d. será el valor del residuo (resto).
Hallar el Máximo Común Divisor (MCD) de tres números naturales dados
Te presentamos unos ejercicios en formato PDF junto con su explicación para que comprendas paso a paso cómo hallar el Máximo Común Divisor (MCD) de tres números naturales.
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MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE TRES NÚMEROS POR FACTORIZACIÓN
Partiendo de tres o más números naturales y mediante su descomposición expresada como el producto de factores primos (es decir, 2, 3, 5, 7, 11, 13...), el Máximo Común Divisor (m.c.d.) se hallará al multiplicar todos los factores comunes elevados a su menor exponente:
Si no estás dispuesto a aprender, nadie te podrá ayudar; pero si tienes la firme convicción para aprender... nadie te podrá parar
Helen Keller